ફિબોનાકી દિવસ
કુદરતમાં જોવા મળતા દરેક સૌંદર્યમાં ગણિત સમાયેલ છે જે ફીબોનાકી શ્રેણી દ્વારા સમજાવી શકાય.જેને ઉજાગર કરવા
દર વર્ષે ૨૩ નવેમ્બર ફિબોનાકી દિવસ તરીકે ઉજવાય છે. ફિબોનાકી સંખ્યાઓનું નામ ઇટાલિયન ગણિતશાસ્ત્રી લિયોનાર્ડો ફિબોનાકીના નામ પરથી રાખવામાં આવ્યું છે જેને લિયોનાર્ડો પિસાનો તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે. 1202માં તેમના પુસ્તક 'લિબર એબેસી'માં,ફિબોનાકીએ યુરોપિયન ગણિતશાસ્ત્રીઓને ક્રમનો પરિચય આપ્યો. આજે ફિબોનાકી નંબરો તકનીકી સૂચકાંકો બનાવવા માટે કાર્યરત છે. સંખ્યાઓનો ક્રમ 0 અને 1 થી શરૂ થાય છે. તે પહેલાની બે સંખ્યાઓને ઉમેરીને બનાવવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, ક્રમ 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,144, 233, 377 અને તેથી વધુ છે. આ ક્રમને ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરી શકાય છે. તે 1.618 ના સુવર્ણ ગુણોત્તરના નિયમ અથવા 0.618 વ્યસ્ત હોવાને કારણે નોંધપાત્ર ક્રમ છે. ફિબોનાકીના પિતા એક વેપારી હતા અને તેઓ તેમની સાથે વ્યાપક પ્રવાસ કરતા હતા. આનાથી તેમને ઉત્તર આફ્રિકામાં ઉછરીને હિંદુ-અરબી અંકગણિત પદ્ધતિના સંપર્કમાં આવવામાં મદદ મળી. ફિબોનાકી ક્રમમાં, કોઈપણ સંખ્યા પહેલાની સંખ્યા કરતા આશરે 1.618 ગણી હોય છે અને તેથી પ્રથમ કેટલીક સંખ્યાઓને અવગણીને. દરેક સંખ્યા તેની જમણી બાજુની સંખ્યાના 0.618 પણ છે. ક્રમમાં પ્રથમ થોડા નંબરોને અવગણીને પણ આ પ્રાપ્ત થાય છે..
ફિબોનાકી નંબરોની શ્રેણી એ પ્રકૃતિનો એક પ્રકારનો એન્ક્રિપ્ટેડ નિયમ છે. જ્યાં શ્રેણીના દરેક અનુગામી સભ્ય અગાઉના બે સભ્યોના સરવાળા સમાન છે, એટલે કે: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, .. 75025, .. 3478759200, 5628750625, .. 26099993908980000
પૃથ્વી પરનો શેલ અને અવકાશમાં ગેલેક્સી બંને ફિબોનાકી નંબરોનો ઉપયોગ કરીને બનાવવામાં આવ્યા છે. મોટાભાગના ફૂલોમાં 5, 8, 13 પાંખડીઓ હોય છે. સૂર્યમુખીમાં, છોડની દાંડીઓ પર, ફરતા વાદળોમાં, વમળોમાં અને ફોરેક્સ વિનિમય દર ચાર્ટમાં પણ, ફિબોનાકી નંબરો દરેક જગ્યાએ કામ કરે છે.
1997 માં, સંશોધક વ્લાદિમીર મિખૈલોવ દ્વારા શ્રેણીની ઘણી વિચિત્ર લાક્ષણિકતાઓનું વર્ણન કરવામાં આવ્યું હતું, જેને ખાતરી હતી કે કુદરત આ સંખ્યાત્મક ક્રમમાં નિર્ધારિત નિયમો અનુસાર વિકાસ પામે છે. મિખાઇલોવને આ સંખ્યાઓની નીચેની શ્રેણી પ્રાપ્ત થઈ: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 4, 3, 7, 1, 8, 9, 8, 8, 7, 6, 4, 1, 5, 6, 8, 1, 9, પછી બધું પુનરાવર્તન થાય છે 1, 1, 2, 3, 5, 8, 4, 3, 7, 1, 8, 4, 8, 8, .. અને ફરીથી અને ફરીથી પુનરાવર્તન થાય છે ... આ શ્રેણીમાં ફિબોનાકી શ્રેણીના ગુણધર્મો પણ હોય છે, દરેક અનંત અનુગામી પદ અગાઉના શબ્દોના સરવાળા સમાન હોય છે. ઉદાહરણ તરીકે, 13મી અને 14મી શરતોનો સરવાળો 15 છે, એટલે કે. 8 અને 8=16, 16=1 6=7. તે તારણ આપે છે કે આ શ્રેણી સામયિક છે, 24 પદોની અવધિ સાથે, જેના પછી સંખ્યાઓનો સંપૂર્ણ ક્રમ પુનરાવર્તિત થાય છે.
બીજી રીતે કહીએ તો, સંખ્યા શ્રેણી ફિબોનાકી એ છે કે જેમ જેમ શ્રેણીની સંખ્યામાં વધારો થાય છે તેમ તેમ આ શ્રેણીના બે પડોશી સભ્યોનો ગુણોત્તર સુવર્ણ વિભાગ (1: 1.618) ના ચોક્કસ ગુણોત્તર સુધી પહોંચે છે - જે માનવ સહિત આપણી આસપાસની પ્રકૃતિમાં સૌંદર્ય અને સંવાદિતાનો આધાર છે.
ફિબોનાકી નંબરોએ ગણિતશાસ્ત્રીઓને સૌથી વધુ અણધાર્યા સ્થળોએ દેખાવાની તેમની ક્ષમતાને કારણે આકર્ષ્યા છે. ઉદાહરણ તરીકે, ફિબોનાકી સંખ્યાઓનો ગુણોત્તર, એક દ્વારા લેવામાં આવે છે, છોડના સ્ટેમ પર નજીકના પાંદડા વચ્ચેના ખૂણાને અનુરૂપ છે, તેઓ કહે છે કે આ કોણ વળાંકનું પ્રમાણ શું છે: 1/2 - એલમ અને લિન્ડેન માટે, 1/3 - બીચ માટે, 2/5 - ઓક અને સફરજન માટે, 3/8 - પોપ્લર અને ગુલાબ માટે, 5/13 - વિલો અને બદામ માટે, વગેરે. બીજની ગણતરી કરતી વખતે તમને સમાન સંખ્યાઓ મળશે સૂર્યમુખીના સર્પાકારમાં, બે અરીસાઓમાંથી પ્રતિબિંબિત કિરણોની સંખ્યામાં, મધમાખીઓના એક કોષમાંથી બીજા કોષમાં જવાના માર્ગો માટેના વિકલ્પોની સંખ્યામાં વગેરે.
ઇટાલિયન ગણિતશાસ્ત્રી લિયોનાર્ડો ઓફ પીસા દ્વારા અનુમાનિત સંખ્યાઓની શ્રેણી છે, જે તેરમી સદીમાં તેમના ઉપનામ ફિબોનાકી દ્વારા વધુ જાણીતી છે.સંશોધનો દ્વારા નોંધાયું છે કે સંખ્યાઓની આ શ્રેણી તે આપણી આસપાસની દુનિયામાં તેનું પ્રતિબિંબ શોધે છે અને અન્ય લોકોમાં પડઘો પાડે છે. ત્યાંથી આપણા માટે બ્રહ્માંડના રહસ્યો માટેનો દરવાજો ખોલે છે.
ફિબોનાકી શ્રેણી એક ગાણિતિક ક્રમ છે, જેનું દરેક તત્વ અગાઉના બેનો સરવાળો બરાબર છે.જેમકે 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34. આગામી નંબર 55 થશે, કારણ કે 21 અને 34 નો સરવાળો 55 છે.
આપણે આપણી આસપાસની તમામ વસ્તુઓને અમુક માપદંડો અનુસાર અલગ પાડીએ છીએ. તેમાંથી એક સ્વરૂપ છે. કેટલાકને વધુ આકર્ષે છે, કેટલાકને ઓછા, અને કેટલાકને બિલકુલ પસંદ નથી. એવું નોંધવામાં આવ્યું છે કે સપ્રમાણ પદાર્થ વ્યક્તિ માટે સંવાદિતા અને સૌંદર્યની ભાવનાને સમજવા અને ઉત્તેજીત કરવા માટે ખૂબ સરળ છે. પ્રકૃતિ, વિજ્ઞાન, કલા વગેરેમાં સંપૂર્ણ અને ભાગોના ગુણોત્તરની સંપૂર્ણતા હોય છે.
માનવ શરીરના ભાગોનું પ્રમાણસર ગુણોત્તર ગોલ્ડન રેશિયોની નજીક છે. ફિબોનાકી ક્રમ એ સુવર્ણ ગુણોત્તરના વધુ સંપૂર્ણ અને મૂળભૂત લઘુગણક અનુક્રમને અનુકૂલિત કરવા માટે પ્રકૃતિની એક પ્રકારની કસોટી છે, જે લગભગ સમાન છે, પરંતુ તેની કોઈ શરૂઆત નથી અને તે અનંત છે. કુદરતની પેટર્ન એવી છે કે તેનો પોતાનો પ્રારંભિક બિંદુ હોવો જોઈએ, જ્યાંથી કંઈક નવું બનાવવાનું નિર્માણ કરવું.
સંખ્યાત્મક ક્રમની દરેક અનુગામી સંખ્યાને પાછલા એક દ્વારા વિભાજીત કરતી વખતે પરિણામ 1.618 તરફ વલણ ધરાવતી સંખ્યા છે.આ રહસ્યમય ક્રમ નસીબદાર જણાયો- પીસાના મધ્યયુગીન ગણિતશાસ્ત્રી લિયોનાર્ડોને .આ સંખ્યા (1.61) ને વૈજ્ઞાનિકો દ્વારા "ભગવાનની સંખ્યા" પણ કહેવામાં આવે છે.
વૈજ્ઞાનિકોએ સંશોધન દરમિયાન, ફિબોનાકી નંબરોના ગુણધર્મોનો ખ્યાલ નક્કી કર્યો. સૂર્યમુખી પર, બીજ સર્પાકારમાં લાઇન કરે છે, અને બીજી દિશામાં જતા સર્પાકારની સંખ્યા અલગ છે - તે સળંગ ફિબોનાકી સંખ્યાઓ છે. સૂર્યમુખીમાં 34 અને 55 છે.આ જ અનેનાસના ફળો પર જોવા મળે છે, જ્યાં 8 અને 14 સર્પાકાર હોય છે. મકાઈના પાંદડા ફિબોનાકી નંબરોની અનન્ય મિલકત સાથે સંકળાયેલા છે.
અમુક કેકટ્સ જેમકે ગોળ દડા જેવા દેખાતા કેકટ્સને જુઓ તો તેના પર ગૂચળાકાર ભાત સહેલાઈથી નજરે તારી આવે છે. કેકટ્સનુ માથું ટેકરા જેવા ઉપસેલા ભાગથી ભરપુર લાગે છે. દરેકની ટોચ અણીદાર દેખાય છે. તેને સ્ટીકર કહે છે. કેટલી જાતના કેકટ્સ એવા હોય છે કે કેન્દ્રથી શરૂ કરીને દરેક સ્ટીકરને સૌથી નજીકના સ્ટીકર સાથે જોડતા જઈને ગૂચળા દોરે છે. આ રીતે ત્રણ ગૂચળા મળશે. પહેલામાં ત્રણ સભ્યો હશે. બીજાંમા પાંચ સભ્યો અને ત્રીજામાં આઠ સભ્યો હશે.આ સંખ્યા ૩, ૫, ૮ થઈ. ગણિતમાં એક આવી સંખ્યાઓથી બનતી ફિબોનાસી શ્રેણી છે. ફિબોનાસીએ એક સરળ સૂત્ર સાથે સંખ્યાઓનો ક્રમ છે..અગાઉ જણાવ્યું તેમ,આ સંખ્યાની શ્રેણી એવી છે કે તેમાં દરેક સંખ્યા આગળની બે સંખ્યાના સરવાળા બરાબર હોય છે. ફિબોનાસી શ્રેણીમાં આવતી સંખ્યા ૧, ૧, ૨, ૩, ૫, ૮, ૧૩, ૨૧,..... એમ છે એની આગળ વધે છે અને આ રીતે અનિશ્ચિત સમય સુધી ચાલુ રહે છે. આ ક્રમનું નામ ૧૩ મી સદીના ઇટાલિયન ગણિતશાસ્ત્રી, પીસાના લિયોનાર્ડોના નામ પરથી રાખવામાં આવ્યું છે, જેઓ ફિબોનાસી તરીકે જાણીતા હતા. આ છોડના કોટા ટોચનો જે ભાગ હોય તે વૃદ્ધિ થવાનો સક્રિય વિસ્તાર છે. તેને પાતળું બાહ્ય આવરણ હોય છે. તેને ટયુનીકા કહે છે. ગુજરાતીમાં તેને કંચુક કહે છે. તે કડક હોય છે. જેમ છોડ વૃદ્ધિ પામે છે તેમ તે કઠણ થતું જાય છે. પછી વધારે વૃદ્ધિને કારણે ઉદભવતા યાંત્રિક તણાવને કારણે તે ખેંચાઈને મરડાઈ જાય છે. કરચલીઓ પડે છે.આમ થવું અગત્યનું છે તેનાથી છોડમાં તણાવમા જે સ્થાને વધઘટ થાય છે ત્યાં એવો વિસ્તાર રચાય છે જ્યાંથી પાંદડાનો ઉદ્ભવ થાય છે. તેને 'પ્રિમાર્ડીયા' કહે છે. ગુજરાતીમાં આદ્યક કહે છે. તે પાંદડાના મૂળ છે તેમ સમજી શકાય.તજજ્ઞા શિપમાન અને ન્યુઝવેલે ટયુનીકામા જે યાંત્રિક તણાવ ઉત્પન્ન થાય છે તેનું ગણિતિક મોડેલ તૈયાર કરેલ છે. કેકટ્સ ટયુનીકામામાં જે વિકૃતિ સર્જાય છે તેના કારણે સપાટી પર ઘણી ધારોની પણ હારમાળા રચાય છે. હવે દરેક હારમાળામાં ધારોની સંખ્યાની ગણતરી કરશો તો જણાશે કે તે સંખ્યાઓ ફિબોનાસી શ્રેણીને અનુસરે છે. આ ધારો જ્યાં એકબીજાને છેદે છે ત્યાં બધે 'સ્ટીકર' રચાય છે. તેથી તે પણ ફિબોનાચી શ્રેણીને અનુસરે છે. આ બધું શિપમાન અને ન્યુઝવેલે વેલના ગણિતિક મોડેલ ને બરાબર મળતું આવે છે.
આમ કુદરતની કમાલમાં વૈજ્ઞાાનિકો નિયમિતતા શોધે છે. કાંટાળા થોરને જોઈને આપણે કદી વિચારીએ પણ નહીં કે તેની સપાટી પર નવી ધારો અને ટેકરીઓ ફિબોનાસી શ્રેણીને અનુસરે છે.
આ સિવાય ફિબોનાસી સંખ્યાઓ ઘણીવાર દાંડીની આસપાસ પાંદડાઓની ગોઠવણીમાં પણ મળી શકે છે. આ દરેક પાંદડાને વિકાસ માટેની જગ્યાને મહત્તમ કરે છે. ખાસ કરીને તે 'સુક્યુલન્ટ્સ' તરીકે ઓળખાતા છોડ તેમજ કોબીજના ભરેલા પાંદડાઓમાં જોવા મળી શકે છે. ગુલાબના ફૂલમાં પણ પાંખડીઓની સમાન સર્પાકાર' રચના જોવા મળે છે.પાંદડાની રચનાના કિસ્સામાં, ફિબોનાસી સંખ્યાનુ અનુકરણ માત્ર પાંદડાઓની સંખ્યા મહત્તમ કરવાનો નથી. કેટલાક કિસ્સાઓમાં તે સૂર્યના સંપર્કને મહત્તમ કરવામાં મદદ કરવા માટે હોય તેવુ માનવામાં આવે છે. કેટલાક શંકુદ્રુમ વૃક્ષોના થડ પર નાના ટેકરા જેવા ઉપસેલા ભાગ (બમ્પ્સમાં) પણ ફિબોનાકસી સંખ્યા દર્શાવે છે જ્યારે પામ વૃક્ષો તેમના થડની રિંગ્સમાં તે પ્રદર્શિત કરે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે આપણા ચહેરા પર પડતી કરચલીઓ કે પાંદડાઓના ચીમળાઈ જવાથી થતા દેખાવ પાછળ પણ આવું જ વિજ્ઞાાન પડેલું છે. દરેક નાની-મોટી દેખાતી -વણ દેખાતી કુદરતી પ્રક્રિયા પાછળ વિજ્ઞાાન છૂપાયેલું છે.
ફિબોનાકી નંબરો એ એક અનન્ય અંકગણિત પ્રગતિ છે જે 13મી સદી એડીમાં દેખાઈ હતી. ફિબોનાકી નંબર પ્રોગ્રામિંગ અને આર્થિક અનુમાન, પેઇન્ટિંગ, આર્કિટેક્ચર અને સંગીતમાં પણ જોવા મળે છે. લિયોનાર્ડો દા વિન્સી, માઇકેલેન્ગીલો, રાફેલ અને બોટિસેલ્લી જેવા પ્રખ્યાત કલાકારોની પેઇન્ટિંગ્સ સુવર્ણ ગુણોત્તરનો જાદુ છુપાવે છે. I. I. શિશ્કિને પણ તેમની પેઇન્ટિંગ "પાઈન ગ્રોવ" માં સુવર્ણ ગુણોત્તરનો ઉપયોગ કર્યો હતો.સોનેરી ગુણોત્તર મોઝાર્ટ, બીથોવન, ચોપિન વગેરે જેવા મહાન સંગીતકારોની સંગીત રચનાઓમાં પણ જોવા મળે છે.ફિબોનાકી નંબરો આર્કિટેક્ચરમાં પણ જોવા મળે છે. ઉદાહરણ તરીકે, પાર્થેનોન અને નોટ્રે ડેમ કેથેડ્રલના નિર્માણમાં સુવર્ણ ગુણોત્તરનો ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો હતો. માનવ ડીએનએ પરમાણુ, જેમાં માનવીના વિકાસનો સમગ્ર કાર્યક્રમ એન્ક્રિપ્ટેડ છે, શ્વસનતંત્ર, કાનની રચના - બધું ચોક્કસ સંખ્યાત્મક ગુણોત્તરનું પાલન કરે છે.
કુદરતના પોતાના નિયમો છે, જે ગણિતની મદદથી વ્યક્ત થાય છે.ફીબોનાકી શ્રેણીમાં વધુ ઊંડા ઉતરીએ તો એટલું જરૂર કહી શકાય કે,ગણિત કંટાળજનક નથી પણ રસપ્રદ હોવા સાથે મોહક પણ છે!!!!
